公約數(shù)和公倍數(shù)是數(shù)學(xué)數(shù)論當(dāng)中的兩個(gè)基本概念，這兩個(gè)概念有可能會(huì)單獨(dú)出現(xiàn)命題，也有可能會(huì)結(jié)合其他的考試題型出現(xiàn)，可以說是一個(gè)行測(cè)必考的考點(diǎn)。下面我們就公約數(shù)和公倍數(shù)與大家進(jìn)行探討。
一、概念闡述
1、約數(shù)、倍數(shù)
如果一個(gè)自然數(shù) a 能被自然數(shù) b 整除，那么稱 a 為 b 的倍數(shù)，b 為 a 的約數(shù)。
2、最大公約數(shù)
如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)，公約數(shù)中最大的一個(gè)就稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。
3、最小公倍數(shù)
如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)，公倍數(shù)中最小的一個(gè)就稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)。
二、解題方法
1、求最大公約數(shù)的方法
①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。
②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘。
2、求最小公倍數(shù)的方法
①分解質(zhì)因數(shù)法：先把這幾個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把它們一切公有的質(zhì)因數(shù)以及每個(gè)數(shù)獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)全部連乘起來(lái)，所得的積就是它們的最小公倍數(shù)。
②短除法：把除得的所有約數(shù)連乘起來(lái)，即得最小公倍數(shù)。
三、相關(guān)性質(zhì)
1、兩個(gè)數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商一定互質(zhì)。
2、兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。
3、約數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的
4、平方數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個(gè)
【例1】求1085和1178 的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。
【答案】31，41230。解析：1085=5×217=5×7×31，1178=31×38=31×2×19。所以最大公約數(shù)為 31，最小公倍數(shù)為 5×7×31×2×19=41230。
【例2】一個(gè)數(shù)與45的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是180，這個(gè)數(shù)是多少?
【答案】60。解析：180=15×12，45=15×3，所以這個(gè)數(shù)為 15×4=60。
【例3】一種長(zhǎng)方形飾品展示臺(tái)長(zhǎng)42厘米，寬24厘米，需要盡可能數(shù)量少的用一種正方形花瓷鋪就，求這種正方形花瓷的邊長(zhǎng)是多少厘米?
【答案】6。解析：依題意正方形花瓷的邊長(zhǎng)應(yīng)為42，24的約數(shù)，但需要盡可能數(shù)量少的花瓷，故正方形花瓷的邊長(zhǎng)應(yīng)是42，24的最大公約數(shù)6。
【例4】公路上一排電線桿，共25根，每相鄰兩根間的距離是45米，現(xiàn)在要改成60米，可以有( )根不需要移動(dòng)。
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B。解析：45和60的最小公倍數(shù)為180，所以不需要移動(dòng)的電線桿共有45×(25-1)÷180+1=7 根。
在公務(wù)員考試中，很多知識(shí)點(diǎn)需要考生在平時(shí)做一些積累，尤其是在距離考試還有較長(zhǎng)的時(shí)間里，對(duì)一些基本考點(diǎn)的積累顯得尤為重要，建議考生多花一些時(shí)間在基本概念上。
